Question

16．已知数列{a_n}是首项为1，公差为2m的等差数列，前n项和为S_n，设b_n=$\frac{{S}_{n}}{n•{2}^{n}}$（n∈N^*），若数列{b_n}是递减数列，则实数m的取值范围是[0，1）．

Answer 1

分析 利用求和公式可得S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2m．可得b_n=$\frac{{S}_{n}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{mn+1-m}{{2}^{n}}$，由数列{b_n}是递减数列，可得b_n+1＜b_n，即可得出．

解答 解：S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2m=mn²+（1-m）n．
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n•{2}^{n}}$=$\frac{mn+1-m}{{2}^{n}}$，
∵数列{b_n}是递减数列，
∴b_n+1＜b_n，∴$\frac{（n+1）m+1-m}{{2}^{n+1}}$＜$\frac{mn+1-m}{{2}^{n}}$，
化为：m（n-2）+1＞0，对于?n∈N^*都成立．
n=1时，m＜1；
n=2时，m∈R；
n＞2时，m$＞\frac{1}{2-n}$，解得m≥0．
综上可得：m∈[0，1）．
故答案为：[0，1）．

点评 本题考查了等差数列的求和公式、不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．