Question

8．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①③④⑤（写出所有正确命题的编号）．
①当$0＜CQ＜\frac{1}{2}$时，S为四边形；
②当$\frac{3}{4}＜CQ＜1$时，S为六边形；
③当$CQ=\frac{1}{2}$时，S为等腰梯形；
④当CQ=1时，S的面积为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$； 
⑤当$CQ=\frac{3}{4}$时，S与C₁D₁的交点R满足${C_1}R=\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 过点A，P，Q的平面必与面ADA₁，BC₁C相交，且交线平行，据此，当Q为C₁C中点时，截面与面ADD₁交与AD₁，为等腰梯形，据此可以对①③进行判断；
连接AP，延长交DC于一点M，再连接MQ并延长其交D₁D于N，连接AN，可见，截面此时不会与面ABB₁相交，据此判断②；
当CQ=1时，截面为底为$\sqrt{2}$，腰长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$的等腰梯形，由此可求其面积，判断④；由$CQ=\frac{3}{4}$作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面，进一步求得C₁R判断⑤．

解答 解：连接AP并延长交DC于M，再连接MQ．
当0＜CQ＜$\frac{1}{2}$时，MQ的延长线交线段D₁D与点N，且N在D₁与D之间，连接AN，则截面为四边形APQN；
特别的当Q为中点即CQ=$\frac{1}{2}$时，N点与D₁重合，此时截面四边形APQN为等腰梯形，故①，③正确；
当$\frac{3}{4}$＜CQ＜1时，MQ与DD₁延长线相交于一点N，再连接AN，与A₁D₁交于一点，此时截面是五边形，故②错误；
当CQ=1时，MQ交DD₁延长线于N点，且DD₁=D₁N=1，连接AN交A₁D₁于的中点位置，此时，截面四边形是边长为$\frac{\sqrt{5}}{2}$的菱形，其对角线长为正方体的对角线长$\sqrt{3}$，另一条对角线长为面对角线长为$\sqrt{2}$，所以s=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故④正确；
当CQ=$\frac{3}{4}$时，如图，延长DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，连接AN交A₁D₁于S，连接NQ交C₁D₁于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故⑤正确．
∴正确命题的序号是①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了截面的性质，关键是利用面面平行、面面相交的性质确定截面的顶点，是中档题．