Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n-2a_n+20．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log 

2

3

a1-1

9

+log 

2

3

a2-1

9

+…+log 

2

3

an-1

9

，求{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）首先根据已知条件利用递推关系式写出相邻项的关系式，进一步利用构造新数列求出数列的通项公式．
（Ⅱ）根据上步的结论，进一步求出数列的通项公式，在利用裂项相消法求数列的和．

解答： 解：（Ⅰ）数列{a_n}的前n项和S_n=n-2a_n+20①
则：S_n-1=（n-1）-2a_n-1+20②
①-②得：a_n=1-2a_n+2a_n-1
所以：3a_n=2a_n-1+1
整理得：(an-1)=

2

3

(an-1-1)
所以：

an-1

an-1-1

=

2

3

(常数)
所以：数列{a_n-1}是以（a₁-1）为首项，

2

3

为公比的等比数列
当n=1时，a₁=7
所以：an-1=6•(

2

3

)n-1
所以 数列的通项公式为：an=6•(

2

3

)n-1+1
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论：log

2

3

an-1

9

=log

2

3

(

2

3

)n=n
所以：bn=1+2+…+n=

n(n+1)

2

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式和构造新数列求数列的通项公式，裂项相消法求数列的和．属于基础题型．