Question

6．已知函数f（x）=x²+4x+3
（1）若g（x）=f（x）+cx为偶函数，求c
（2）利用单调性定义证明：函数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）由题意可得g（-x）=g（x），代入可求c；
（2）由（1）可得f（x），利用单调性的定义，要证明数f（x）在区间[-2，+∞）上是增函数，只要当-2≤x₁＜x₂ 时有f（x₂）＞f（x₁）即可故由已证f（x）在[-2，+∞）单调递增．

解答 解：（1）∵g（x）=f（x）+cx=x²+（4+c）x+3为偶函数，
∴g（-x）=g（x），
∴（-x）²+（4+c）（-x）+3=x²+（4+c）x+3，
∴4+c=-（4+c）     
∴c=-4                   
（2）证明：设-2≤x₁＜x₂ 
则f（x₂）-f（x₁）=x22+4x2+3-x12-4x1-3
=（x₁+x₂）（x₂-x₁）+4（x₂-x₁）
=（x₂-x₁）（x₁+x₂+4）…（8分）
∵-2≤x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0且x₁+x₂+4＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＞0即f（x₂）＞f（x₁）
故 f（x）在[-2，+∞）单调递增．

点评 本题主要考查了偶函数的定义的应用，函数的单调性的定义在证明（判断）函数的单调性中的应用，属于基本知识的简单的应用．