Question

如果函数f（x）=

2ax-1，x∈(0，1] 3ax-1，x∈(1，+∞)

，g（x）=log₂x，关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先考虑关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，由对数函数的单调性，得到f（x）=2ax-1≤0在（0，1]恒成立，运用参数分离法，求出a的范围；再求关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+∞）恒成立的a的范围．运用同样的参数分离法，求最值，即可求出a的范围．注意最后求交集．

解答： 解：当x∈（0，1]时，g（x）=log₂x≤0，
∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，1]恒成立，
∴f（x）=2ax-1≤0在（0，1]恒成立，即有2a≤

1

x

恒成立，则2a≤1，即a≤

1

2

；
当x＞1时，g（x）=log₂x＞0，
∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴f（x）=3ax-1≥0在（1，+∞）恒成立，即有3a≥

1

x

恒成立，则3a≥1，即a≥

1

3

．
∵关于x的不等式f（x）•g（x）≥0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴a的取值范围是：[

1

3

，

1

2

]．
故答案为：[

1

3

，

1

2

]．

点评：本题考查分段函数和运用，考查对数函数的单调性和应用，考查不等式的恒成立问题，运用参数分离法，求最值，属于中档题．