Question

19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且$\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{b}{2a+c}$．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=2，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式即可得出；
（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{b}{2a+c}$，由正弦定理可得：$\frac{cosB}{cosC}$=-$\frac{sinB}{2sinA+sinC}$．
化为：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
2sinAcosB+sin（C+B）=0，
∴2sinAcosB+sinA=0，
∵sinA≠0，
∴cosB=-$\frac{1}{2}$，又B∈（0，π），∴B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ac$，
∴ac=1．
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac=（a+c）²-ac=3，
∴$b=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．