【题目】已知抛物线关于轴对称,且经过点.
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程;
(2)设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点、,抛物线的准线分别交直线、于点和点,求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.
【答案】(1)标准方程为 ,准线方程为;(2)证明见解析
【解析】
(1)设抛物线C:x2=﹣2py,代入点(2,﹣1),解方程可得p,求得抛物线的方程和准线方程;(2)抛物线x2=﹣4y的焦点为F(0,﹣1),设直线方程为y=kx﹣1,联立抛物线方程,运用韦达定理,以及直线的斜率和方程,求得A,B的坐标,可得AB为直径的圆方程,可令x=0,解方程,即可得到所求定点.
(1)设抛物线C:x2=﹣2py,经过点(2,﹣1).可得4=2p,即p=2,
可得抛物线C的方程为x2=﹣4y,准线方程为y=1;
(2)抛物线x2=﹣4y的焦点为F(0,﹣1),
设直线方程为y=kx﹣1,联立抛物线方程,可得x2+4kx﹣4=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
可得x1+x2=﹣4k,x1x2=﹣4,
直线OM的方程为yx,即yx,
直线ON的方程为yx,即yx,
可得A(﹣,1),B(﹣,1),
可得AB的中点的横坐标为﹣2()=﹣2﹣2k,
即有AB为直径的圆心为(﹣2k, 1),
半径为||=22,
可得圆的方程为(x+2k)2+(y﹣1)2=4(1+k2),
化为x2+4kx+(y﹣1)2=4,
由x=0,可得y=﹣1或3.
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,﹣1),(0,3).
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【题目】如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程。
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【题目】下列判断错误的是( )
A.是为可导函数的极值点的必要不充分条件
B.命题“”的否定是
C.命题“若,则”的逆否命题是“若,则或”
D.若,则方程有实数根的逆命题是假命题
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【题目】从装有个不同小球的口袋中取出个小球(),共有种取法。在这种取法中,可以视作分为两类:第一类是某指定的小球未被取到,共有种取法;第二类是某指定的小球被取到,共有种取法。显然,即有等式:成立。试根据上述想法,下面式子(其中)应等于 ( )
A. B. C. D.
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【题目】某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;
(3)从(2)中抽取的5位女性中,再随机抽取3人赠送礼品,试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.
参考公式: ,其中.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】设椭圆的左焦点为,离心率为,为圆的圆心.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.
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【题目】某商家计划投入10万元经销甲,乙两种商品,根据市场调查统计,当投资额为万元,经销甲,乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元,其中,,当该商家把10万元全部投入经销乙商品时,所获收益为5万元.
(1)求实数a的值;
(2)若该商家把10万元投入经销甲,乙两种商品,请你帮他制订一个资金投入方案,使他能获得最大总收益,并求出最大总收益.
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