Question

【题目】已知抛物线关于轴对称，且经过点.

（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；

（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点、，抛物线的准线分别交直线、于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.

Answer 1

【答案】（1）标准方程为 ，准线方程为；（2）证明见解析

【解析】

（1）设抛物线C：x2＝﹣2py，代入点（2，﹣1），解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；（2）抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得AB为直径的圆方程，可令x＝0，解方程，即可得到所求定点．

（1）设抛物线C：x2＝﹣2py，经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，

可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；

（2）抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），

设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，

直线OM的方程为yx，即yx，

直线ON的方程为yx，即yx，

可得A（﹣，1），B（﹣，1），

可得AB的中点的横坐标为﹣2（）＝﹣2﹣2k，

即有AB为直径的圆心为（﹣2k， 1），

半径为||＝22，

可得圆的方程为（x+2k）2+（y﹣1）2＝4（1+k2），

化为x2+4kx+（y﹣1）2＝4，

由x＝0，可得y＝﹣1或3．

则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，﹣1），（0，3）．