Question

4．a，b，c，d四名运动员争夺某次赛事的第1，2，3，4名，比赛规则为：通过抽签，将4人分为甲、乙两个小组，每组两人．第一轮比赛（半决赛）：两组各自在组内进行一场比赛，决出各组的胜者和负者；第二轮比赛决赛：两组中的胜者进行一场比赛争夺1，2名，两组中的负者进行一场比赛争夺第3，4名．四名选手以往交手的胜负情况累计如下表：

	a	b	c	d
a		a13胜26负	a20胜10负	a21胜21负
b	b26胜13负		b14胜28负	b19胜19负
c	c10胜20负	c28胜14负		c18胜18负
d	d21胜21负	d19胜19负	d18胜18负

若抽签结果为甲组：a，c；乙组：b，d．每场比赛中，双方以往交手各自获胜的频率作为获胜的概率．
（Ⅰ）求c获得第1名的概率；
（Ⅱ）求c的名次X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a分别与b，c，d比赛时获胜的概率，b分别与a，c，d比赛时获胜的概率，c分别与a，b，d比赛时获胜的概率，由此能求出C获得第一名的概率．
（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）设a分别与b，c，d比赛时获胜的事件分别为A_b，A_c，A_d，
则P（A_b）=$\frac{1}{3}$，P（A_c）=$\frac{2}{3}$，P（A_d）=$\frac{1}{2}$，
b分别与a，c，d比赛时获胜的事件分别为B_a，B_c，B_d，
则P（B_a）=$\frac{2}{3}$，P（B_c）=$\frac{1}{3}$，P（B_d）=$\frac{1}{2}$，
c分别与a，b，d比赛时获胜的事件分别为C_a，C_b，C_d，
则P（C_a）=$\frac{1}{3}$，P（C_b）=$\frac{2}{3}$，P（C_d）=$\frac{1}{2}$，
d分别与a，b，c比赛时获胜的事件分别为Da，D_b，D_c，
则P（D_a）=$\frac{1}{2}$，P（D_b）=$\frac{1}{2}$，P（D_c）=$\frac{1}{2}$，
∴C获得第一名的概率：
P=P（C_a）P（B_d）P（C_b）+P（C_a）P（D_b）P（C_d）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{36}$．
（Ⅱ）C名次X的可能取值有1，2，3，4，
P（X=1）=P（C_a）P（B_d）P（C_b）+P（C_a）P（D_b）P（C_d）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{36}$．
若C为第二名，则甲组中C胜，且C与乙组的胜者比赛时负，
∴P（X=2）=P（C_a）P（B_d）P（B_c）+P（C_a）P（D_b）P（D_c）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{36}$，
若C为第3名，则甲组中C负，且C与乙组的负者比赛时胜，
∴P（X=3）=P（A_c）P（D_b）P（C_b）+P（A_c）P（B_d）P（C_d）═$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=4）=1-P（X=1）-P（X=2）-P（X=3）=1-$\frac{7}{36}-\frac{5}{36}-\frac{7}{18}$=$\frac{5}{18}$．
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{7}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{5}{18}$

EX=$1×\frac{7}{36}+2×\frac{5}{36}+3×\frac{14}{36}+4×\frac{10}{36}$=$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．