Question

9．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[$\frac{3}{8}$，1）．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{AC}$（0≤t≤1），$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AB}$=t$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$．由于 $\overrightarrow{BM}$⊥$\overrightarrow{CN}$，可得$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{CN}$=0．化为：-16t+12（$\frac{t}{2}$+1）cos∠BAC-$\frac{9}{2}$=0，整理可得：cos∠BAC=$\frac{32t+9}{12（t+2）}$=$\frac{1}{12}$（32-$\frac{55}{t+2}$）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．

解答 解：设$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{AC}$（0≤t≤1），$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AB}$=t$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$．
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{CN}$=（t$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=-t$\overrightarrow{AC}$²+（$\frac{t}{2}$+1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²．
∵$\overrightarrow{BM}$⊥$\overrightarrow{CN}$，
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{CN}$=-t$\overrightarrow{AC}$²+（$\frac{t}{2}$+1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²=0．
化为：-16t+12（$\frac{t}{2}$+1）cos∠BAC-$\frac{9}{2}$=0，
整理可得：cos∠BAC=$\frac{32t+9}{12（t+2）}$=$\frac{1}{12}$（32-$\frac{55}{t+2}$）=f（t），（0≤t≤1）．
由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，
∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：$\frac{3}{8}$≤f（t）≤$\frac{41}{26}$，即：$\frac{3}{8}$≤cosA≤$\frac{41}{36}$，
∵A∈（0，π），
∴cosA＜1，
∴cosA的取值范围是：[$\frac{3}{8}$，1）．
故答案为：[$\frac{3}{8}$，1）．

点评 本题考查了余弦定理、向量的三角形法则、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、函数的单调性、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．