Question

已知AB、MN为圆C：（x-2）²+y²=9的两条相互垂直的弦，垂足为R（3，a），若四边形ABMN的面积的最大值为14，则a=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：如图所示，①当AB或MN中有一条为直径而另一条垂直于x轴时，不妨设此时|AB|=6，|MN|=2

r2-(3-2)2

=2

2

，可得四边形ABMN的面积，判定是否符合条件；
②当AB，MN都不为直径时，分别过圆心作到两条垂直弦的垂线，设到弦的距离分别d₁，d₂．可得

d

2 1

+

d

2 2

=(3-2)2+a2=1+a2．
假设存在a的值满足条件，则

1

2

|AB| |MN|=14，可得|AB||MN|=28．利用垂径定理和勾股定理可得：(

1

2

|AB|)2=9-

d

2 1

，(

1

2

|MN|)2=9-

d

2 2

，再利用基本不等式的性质可得|AB|²+|MN|²=72-4(

d

2 1

+

d

2 2

)=68-4a²≥2|AB||MN|=56，化为a²≤2，即可得出a的值．

解答： 解：如图所示，①当AB或MN中有一条为直径而另一条垂直于x轴时，不妨设此时|AB|=6，|MN|=2

r2-(3-2)2

=2

2

，可得SANBM=

1

2

×6×4

2

=12

2

＞14，不符合条件，应舍去；
②当AB，MN都不为直径时，分别过圆心作到两条垂直弦的垂线，设到弦的距离分别d₁，d₂．
则

d

2 1

+

d

2 2

=(3-2)2+a2=1+a2．
假设存在a的值满足条件，则

1

2

|AB| |MN|=14，
可得|AB||MN|=28．
利用垂径定理和勾股定理可得：(

1

2

|AB|)2=9-

d

2 1

，(

1

2

|MN|)2=9-

d

2 2

，
∴|AB|²+|MN|²=72-4(

d

2 1

+

d

2 2

)=68-4a²≥2|AB||MN|=56，化为a²≤3，
当且仅当a=±

3

时取等号，此时|AB|=|MN|．
故答案为：±

3

．

点评：熟练掌握垂径定理、圆的标准方程、勾股定理、两点间的公式、分类讨论思想方法等是解题的关键．