Question

【题目】已知椭圆C：，分别是其左、右焦点，过的直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C的离心率为，的内切圆面积为，.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若时，求直线l的方程

Answer 1

【答案】（I）（II）或

【解析】

(I) 由离心率可得a，c的关系,再由内切圆的面积求出内切圆的半径,进而求出三角形的面积，由题意可得a的值，再由a,b,c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的方程;

(II) 设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的表达式，再由题意可得参数的值，进而求出直线l的方程

（I）由题可得，，

的内切圆面积为，，易得的周长为8，即.

而，解得，，，

则椭圆C的方程为：.

（II）设，由（I）可得，

当直线l的斜率不存在时，不符合题意，

当直线l的斜率存在时，可设l：，

联立直线l与椭圆C可得：，

，，

，

解得，

所以直线l的方程为或.