Question

【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则cos∠APA1的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，则AOPM，从而A1P＝C1M，由此能求出cos∠APA1的值.

解：如图，连结AC、BD，交于点O，连结A1C1，交EF于M，连结OM，

面，为底面A1B1C1D1内一点，

∴cos∠APA1，

所以当取最小值时，cos∠APA1有最小值，

且E，F分别为B1C1，C1D1的中点，分别取和的中点，，

则有，进而得到面，又AP∥平面EFDB，则点必在上，

明显地，当点在上时，取最小值，此时取最小值，cos∠APA1有最小值，，此时，如下图，

设正方形ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，∵在正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，

E，F分别为B1C1，C1D1的中点，又点P是底面A1B1C1D1内一点，

且AP∥平面EFDB，且面面于，

，又，，四边形为平行四边形

∴AOPM，又 E，F分别为B1C1，C1D1的中点，，且，

，又，∴A1P＝C1M，

∴cos∠APA1，即cos∠APA1的最小值是.

故选：C.