Question

12．如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M，N两点，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：
①平面MENF⊥平面BDD′B′；
②直线AC∥平面MENF始终成立；
③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；
④四棱锥C′-MENF的体积V=h（x）为常数；
以上结论正确的是①②④．

Answer 1

分析 利用直线与平面垂直的判定定理判断①的正误；直线与平行判断②的正误；分析说明函数的单调性判断③的正误；求出几何体的体积即可判断④的正误．

解答 解：对于①：显然，EF⊥BD，又EF⊥DD′，
∴EF⊥平面BDD′B′，
∴平面MENF⊥平面BDD′B′；
∴①正确；
对于②：由已知条件，E、F是所在棱的中点，则EF∥ac，且EF?平面MENF，AC?平面MENF，
∴直线AC∥平面MENF始终成立，
故②正确；
对于③：M在A时，N在D′，MENF的周长最大，MN在所在棱的中点时，MENF的周长最小，M在B′，N在B时，MENF的周长最大，
四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]不是单调函数．
故③不正确；
对于④：连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，
它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．
因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，
所以四棱锥C'-MENF的体积V为常函数，所以④正确．
综上，正确的有①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题重点考查了空间中平行和垂直关系的判断和性质等知识，命题真假的判定，属于中档题