Question

17．已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x²-2ax+4（a≥1），g（x）=ln（x+1）-ln3+$\frac{4}{3}$．
（1）求函数y=f（x）的最小值m（a）；
（2）若对任意x₁、x₂∈[0，2]，f（x₂）＞g（x₁）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）配方，通过讨论a的范围，求出m（a）的解析式即可；
（2）问题转化为f（x₂）_min＞g（x₁）_max，根据函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，
当1≤a＜2时，m（a）=f（a）=4-a²；
当a≥2时，f（x）在[0，2]上递减，
故m（a）=f（2）=8-4a．
∴m（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4{-a}^{2}，1≤a＜2}\\{8-4a，a≥2}\end{array}\right.$；
（2）由g（x）=ln（x+1）-ln3+$\frac{4}{3}$，
得g（x）在区间[0，2]上单调递增，
故当x∈[0，2]时，g（x）∈[$\frac{4}{3}$-ln3，$\frac{4}{3}$]．
由题设，得f（x₂）_min＞g（x₁）_max，
故$\left\{\begin{array}{l}{1≤a＜2}\\{4{-a}^{2}＞\frac{4}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{8-4a＞\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：1≤a＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．