Question

1．如图，已知平面ABB₁N⊥平面BB₁C₁C，四边形BB₁C₁C是矩形，ABB₁N是梯形，且AN⊥AB，AN∥BB₁，AB=BC=AN=4，BB₁=8．
（1）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求直线NC和平面NB₁C₁所成角的正弦值；
（3）若M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁，并求$\frac{BP}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）BA，BC，BB₁两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证出BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁后即可证明BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求出平面NCB₁的一个法向量$\overrightarrow{n}$，利用$\overrightarrow{CN}$与此法向量的夹角求出直线NC和平面NB₁C₁所成角的正弦值；（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB₁，得知$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}$=0，利用向量数量积为0求出a的值，并求出$\frac{BP}{PC}$的值．

解答 （1）证明：∵BA，BC，BB₁两两垂直．                              …（2分）
以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB₁所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{N{B}_{1}}$=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0
$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁与B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；   …（4分）
（2）解：设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面NB₁C₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{-4x+4y=0}\\{4z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∵$\overrightarrow{CN}$=（4，4，-4），
∴直线NC和平面NB₁C₁所成角的正弦值sinθ=$\frac{8}{\sqrt{2}•4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；…（8分）
（3）解：∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则$\overrightarrow{MP}$=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{n}$=0，
∴（-2，0，a）•（1，1，2）=0，
∴a=1．
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴当PB=1时，MP∥平面CNB₁
∴$\frac{BP}{PC}$=$\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确．