Question

9．已知函数f（x）=x+lg$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）的定义域是R．
（1）判断f（x）在R上的单调性，并证明；
（2）若不等式f（m•3^x）+f（3^x-9^x-4）＜0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断函数的奇偶性，再证明x＞0的单调性，得出整个单调性；
（2）利用函数的奇偶性和单调性对不等式进行转化，把恒成立问题转化为最值问题．

解答 （1）因为函数f（x）的定义域为R，对于函数f（x）定义域内的每一个x，都有
f（-x）=-x+lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）=-x+lg$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-f（x），．
所以，函数f（x）=x+lg$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）是奇函数．--（2分）
设x₁，x₂是（0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+lg$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}}$．．
由x₁＜x₂，
得x₁-x₂＜0，lg$\frac{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+{x}_{1}}{\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}}$＜1．
于是f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）=（．
所以函数在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＞0，、f（0）=0，
根据奇函数的性质可得f（x）在R上的单调递增．
（2）f（m•3^x）+f（3^x-9^x-4）＜0  等价于 m•3^x＜-3^x+9^x+4，
即 m＜3^x$+\frac{4}{{3}^{x}}$-1
令t=3^x，设函数g（t）=t+$\frac{4}{t}$-1．
由函数g（t）的单调性可知最小值为3，
∴m＜3．
∴实数m的取值范围（-∞，3）．

点评 考查了函数单调性的证明和奇偶性，单调性的综合应用和恒成立问题的转化思想．