Question

10．设{a_n}是一个公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n，已知S₉=45，且a₁，a₂，a₄ 成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₉=9a₅=45，即a₅=5，根据等比中项的性质可知${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄，即（a₅-3d）²=（a₅-4d）（a₅-d），代入即可求得d的值，求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由S₉=45，即S₉=9a₅=45，即a₅=5，
由a₁，a₂，a₄ 成等比数列．即${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄，
由等差数列性质可知：（a₅-3d）²=（a₅-4d）（a₅-d），
∴（5-3d）²=（5-4d）（5-d），整理得：d²-d=0，
解得：d=1，
∴a_n=a₅+（n-5）d=5+n-5=n，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．