Question

已知函数f（x）=x³-3x²+2，g（x）=

x+ 1 x   x＞0 -x2-4x-2   x≤0

，则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数不可能为（　　）

• A、6个
• B、5个
• C、4个
• D、3个

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：由已知中函数的解析式，我们易求出f（x）与y=a的交点情况为：当a＞2时，有一个交点；当a=2时，有两个交点；当0＜a＜2时，有三个交点；g（x）与y=a的交点情况为：当a＞2时，有2个交点；当a=2时，有2个交点；当0＜a＜2时，有2个交点．分类讨论后，即可得到方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数所有的情况，进而得到答案．

解答： 解：∵函数f（x）=x³-3x²+2，
画出函数f（x）的图象，如图示：

我们易求出f（x）与y=a的交点情况为：
当a＞2时，有一个交点；
当a=2时，有两个交点；
当0＜a＜2时，有三个交点；
g（x）=

x+ 1 x ，x＞0 -x2-4x-2，x≤0

，
画出函数g（x）的图象，如图示：

我们易求出g（x）与y=a的交点情况为：
当a＞2时，有2个交点；
当a=2时，有2个交点；
当0＜a＜2时，有2个交点；
∴方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数可能为：
4个，5个，6个，
不可能为3个，
故选：D．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．