Question

11．设集合A={0，-4}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，x∈R}．若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分类讨论：由B⊆A可得B=∅，或{0}，或{-4}，或{0，-4}．
当B=∅时，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0无实根，由△=4（a+1）²-4（a²-1）＜0解a的范围；
当B为单元素集合时，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有两个相等的实根，
由△=0解a的值，代入方程验证是否符合题意；
当B为2元素集合时，B={0，-4}，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有两个不相等的实根0和-4，
由△＞0，解a的范围，将x=0和x=-4分别代入方程求出a的值，与a的范围取交集．

解答 解：由B⊆A可得B=∅，或{0}，或{-4}，或{0，-4}．
当B=∅时，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0无实根，
△=4（a+1）²-4（a²-1）＜0，解得a＜-1；
当B为单元素集合时，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有两个相等的实根，
△=4（a+1）²-4（a²-1）=0，解得a=-1，方程为x²=0，解得B={0}；
当B为2元素集合时，B={0，-4}，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有两个不相等的实根0和-4，
△=4（a+1）²-4（a²-1）＞0，解得a＞-1，将x=0代入方程得a=1，将x=-4代入方程得a=1，或a=7．
检验a=7，B中不含0，不成立．
综上所述，a的取值范围是：a≤-1，或a=1．

点评 本题考查集合之间的包含关系，分类讨论的思想，属于中档题．