Question

若x＞4，则函数y=x+

1

x-4

（　　）

• A、有最大值-6
• B、有最小值6
• C、有最大值-2
• D、有最小值2

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：先将原函数变换为y=x-4+

1

x-4

+4，然后令t=x-4（t＞0），则原函数可化为求函数y=t+

1

t

+4（t＞0）的最值问题，然后利用导数或基本不等式都很容易求解．

解答： 解：原函数可化为y=x-4+

1

x-4

+4，令t=x-4（t＞0），
则原函数可化为求函数y=t+

1

t

+4（t＞0），
所以y′=1-

1

t2

，令y′≥0得t≥1；令y′＜0得0＜t＜1，
所以函数y=t+

1

t

+4（t＞0）在区间（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，
且当x→0或x→+∞时，y都趋向于正无穷大，
当t=1是，函数取得最小值6，无最大值．
故答案选：B
方法二：y=x-4+

1

x-4

+4≥2+4=6

点评：关于函数的最值问题一般考虑其单调性，而单调性常用导数来研究，此例先换元，使函数变得简单了后再求解．当然此题也可以利用基本不等式求解．