Question

4．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为$\frac{1}{7}$，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求取球次数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）本题是一个等可能事件的概率，设出袋中原有n个白球，
写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，
根据等可能事件的概率公式得到关于n的方程，解方程即可；
（Ⅱ）根据题意X的所有可能值为1，2，3，4，5；
计算X取每一个值时对应的概率得分布列，
根据分布列求数学期望E（X）．

解答 解：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，由题意知：
$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{\frac{n（n-1）}{2}}{\frac{7×6}{2}}$=$\frac{n（n-1）}{7×6}$=$\frac{1}{7}$，
化简得n（n-1）=6，
解得n=3或n=-2（不合题意，舍去），
即袋中原有3个白球；
（Ⅱ）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，5，
计算P（X=1）=$\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{4×3}{7×6}$=$\frac{2}{7}$，
P（X=3）=$\frac{4×3×3}{7×6×5}$=$\frac{3}{35}$，P（X=4）=$\frac{4×3×2×3}{7×6×5×4}$=$\frac{3}{35}$，
P（X=5）=$\frac{4×3×2×1×3}{7×6×5×4×3}$=$\frac{1}{35}$；
所以X的分布列为：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

数学期望是E（X）=1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{2}{7}$+3×$\frac{6}{35}$+4×$\frac{3}{35}$+5×$\frac{1}{35}$=2．

点评 本题考查了随机事件的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的问题，是基础题．