Question

15．函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）的图象与坐标轴围成的图形的面积为m，二项式（mx-3）ⁿ的展开式中只有第四项的二项式系数最大，若（mx-3）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…a_nxⁿ，则a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=-12．

Answer 1

分析 由题意，m=${∫}_{0}^{π}sinxdx$=$（-cosx）{|}_{0}^{π}$=2，二项式（mx-3）ⁿ的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则n=6，（2x-3）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…a₆x⁶，两边同时求导可得12（2x-3）⁵=a₁+2a₂ x+3a₃ x²+…+6a₆x⁵，再令x=1可得结论．

解答 解：由题意，m=${∫}_{0}^{π}sinxdx$=$（-cosx）{|}_{0}^{π}$=2，
二项式（mx-3）ⁿ的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则n=6，
（2x-3）⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…a₆x⁶，两边同时求导可得
12（2x-3）⁵=a₁+2a₂ x+3a₃ x²+…+6a₆x⁵，
再令x=1可得 a₁+2a₂+3a₃+…+6a₆=-12，
故答案为-12．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单
有效的方法，属于中档题．