Question

14．如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=DA=DC=2．
（1）若M、N分别是PD、AB的中点，证明：MN∥平面PBC；
（2）求二面角C-BP-D的大小．

Answer 1

分析 （1）欲证MN∥平面PBC，根据MN?平面MNE，可先证平面MNE∥平面PBC，取CD中点E，连接ME，NE，根据中位线可知ME∥PC，NE∥BC，又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，满足平面与平面平行的判定定理，最后根据性质定理可知结论；
（2）利用面积射影法，求出二面角C-BP-D的大小．

解答 （1）证明：取CD中点E，连接ME，NE，
由已知M、N分别是PD、AB的中点，
∴ME∥PC，NE∥BC
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PBC，
所以，MN∥平面PBC；
（2）解：作DO⊥PC，则DO⊥平面PBC，△OPB为△DPB在平面中的射影，
因为△OPB中，PO=$\sqrt{2}$，所以S_△OPB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$．
因为△DPB中，PD=2，BD=2$\sqrt{2}$，所以S_△DPB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2$=2$\sqrt{2}$，
所以二面角C-BP-D的余弦值为$\frac{1}{2}$，大小为60°．

点评 本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．