Question

等差数列{a_n}中，a₁＞0，a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，S_n为数列{a_n}的前n项和，若S_n＞0，则n的最大值为（　　）

• A、2003
• B、400
• C、4006
• D、4007

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意得：前2003项是正数，且从第2004项开始为负数，由等差数列的前n项和公式表示出S₄₀₀₆、S₄₀₀₇，利用等差数列的性质和a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0与a₂₀₀₄＜0，判断出S₄₀₀₆为正、S₄₀₀₇为负，求出最大自然数n的值．

解答： 解：由a₂₀₀₃+a₂₀₀₄＞0，a₂₀₀₃•a₂₀₀₄＜0，知a₂₀₀₃和a₂₀₀₄两项中有一正数一负数，
又a₁＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，所以a₂₀₀₃＞a₂₀₀₄，
即a₂₀₀₃＞0，a₂₀₀₄＜0，从第1项到第2003项是正数，且从第2004项开始为负数，
则S₄₀₀₆=

4006(a1+a4006)

2

=

4006(a2003+a2004)

2

＞0，
S₄₀₀₇=

4007(a1+a4007)

2

=

4007(a2004+a2004)

2

＜0，
所以使S_n＞0的n的最大值为4006，
故选：C．

点评：本题考查等差数列的性质、前n项和公式的灵活应用，以及等差数列的单调性，可利用一般结论：等差数列中，a₁＞0，a_k+a_k+1＞0，且a_ka_k+1＜0，则使前n项和Sn＞0的最大自然数n是2k．