Question

设f（x）是定义在[-1，1]的奇函数，对任意a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

）．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用奇函数的定义，结合单调性的定义，即可得到f（x）在[-1，1]上为增函数，进而得到f（a）和f（b）的大小；
（2）由函数的单调性，即可得到

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

，分别解出它们，再求交集即可．

解答： 解：（1）f（x）是定义在[-1，1]的奇函数，
则f（-x）=-f（x），
对任意a，b∈[-1，1]，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
则有

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，即有

f(a)-f(b)

a-b

＞0，
则f（x）在[-1，1]上为增函数．
若a＞b，则有f（a）＞f（b）；
（2）f（x）在[-1，1]上为增函数．
则不等式f（x-

1

2

）＜f（2x-

1

4

）
即为

-1≤x- 1 2 ≤1 -1≤2x- 1 4 ≤1 x- 1 2 ＜2x- 1 4

即有

- 1 2 ≤x≤ 3 2 - 3 8 ≤x≤ 5 8 x＞- 1 4

，
解得，-

1

4

＜x≤

5

8

．
则解集为（-

1

4

，

5

8

]．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小和解不等式，注意函数的定义域的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．