Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），则a_n=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,数列递推式

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），且数列{a_n}满足f（sn+2）-f（an）=f（3）（n∈N*），可得数列{a_n}是一个以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列，进而得到数列的通项公式．

解答： 解：∵对任意的正数x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），
∵f（sn+2）-f（an）=f（3）（n∈N*），
∴f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）
又∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
∴s_n+2=3a_n…①
当n=1时，s₁+2=a₁+2=3a₁，解得a_n=1
当n≥2时，s_n-1+2=3a_n-1…②
①-②得：a_n=3a_n-3a_n-1
即

an

an-1

=

3

2

∴数列{a_n}是一个以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列，
∴a_n=(

3

2

)n-1．
故答案为：(

3

2

)n-1

点评：本题以抽象函数为载体考查了等比数列通项公式的求法，其中根据已知得到f（s_n+2）=f（3）+f（a_n）=f（3•a_n）是解答的关键．