Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若

PQ

=2

F1O

，

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：法一：由题设条件及

PQ

=2

F1O

，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为

a2

c

-2c，又

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)知Q点在∠PF₁O角平分线上，从而得出四边形PF₁F₂Q是一个菱形，从而得出P_F1=2c，PF₂=2a-2c，再由椭圆的第二定义建立等式解出离心率的值；
法二：由题设条件及

PQ

=2

F1O

，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为

a2

c

-2c，又

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)知Q点在∠PF₁O角平分线上由此，可用正切的2倍角公式建立方程求e

解答：解法一：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，

PQ

=2

F1O

，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为

a2

c

-2c，
又

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)知Q点在∠PF₁O角平分线上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
由于PQ

∥

.

F₁F₂，故四边形PF₁F₂Q是一个平行四边形，结合对角线是角平分线知，四边形PF₁F₂Q是菱形，可得P_F1=2c
由此得PF₂=2a-2c
由椭圆的第二定义知e=

PF2

PQ

=

2a-2c

2c

，解得e=

5 -1

2

故答案为

5 -1

2

解法二：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，

PQ

=2

F1O

，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为

a2

c

-2c，
又

F1Q

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)知Q点在∠PF₁O角平分线上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
令P（

a2

c

-2c，y），Q（

a2

c

，y），故kPF 1=

y

a2 c -2c+c

=

y

a2 c -c

，kQF 1=

y

a2 c +c

又tan∠PF₁O=tan2∠QF₁O=

2tan∠QF1O

1-tan 2∠QF1O

，即

y

a2 c -c

=

2×  y a2 c +c

1-(  y a2 c +c )2

①
又由

x2

a2

+

y2

b2

=1及a²=b²+c²，P（

a2

c

-2c，y），解得y2=6a2-9c2-

a4

c2

+

4c4

a2

代入①整理得
e=

5 -1

2

故答案为e=

5 -1

2

点评：本题是一道向量与椭圆相结合的题目，由向量的相关性质得到几何中的位置关系以及数量关系，再由几何中的相关公式进行变形运算，求得离心率，从解题过程中可以看到，本题的求解过程就是寻求关于a，c之间关系的一个过程．本题运算变形较繁，运算量过大，故答案不易做对．