Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R））是偶函数
（1）求k的值；
（2）设g（x）=log₄（a•2^x-

4

3

a），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；
（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．

解答： 解（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R））是偶函数
∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-kx）=log₄（

1+4x

4x

）-kx=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）恒成立
∴-（k+1）=k，则k=-

1

2

．
（2）g（x）=log₄（a•2^x-

4

3

a），
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即
方程f（x）=g（x）只有一个解
由已知得log₄（4^x+1）-

1

2

x=log₄（a•2^x-

4

3

a），

∴log₄（

4x+1

2x

）=log₄（a•2^x-

4

3

a），
方程等价于

a•2x- 4 3 a＞0 4x+1 2x =a•2x- 4a 3

，
设2^x=t，t＞0，则（a-1）t²-

4

3

at-1=0有一解
若a-1＞0，设h（t）=（a-1）t²-

4

3

at-1，
∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解
∴a＞1满足题意
若a-1=0，即a=1时，不满足题意
若a-1＜0，即a＜1时，由△=(-

4

3

a)2+4(a-1)=0，得a=-3或a=

3

4

，
当a=-3时，t=

1

2

满足题意
当a=

3

4

时，t=-2（舍去）
综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．