Question

18．观察等式：
sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=a
sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=a
sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=a
sin²25°+cos²55°+sin25°cos55°=a
（1）请根据以上等式规律，用特殊值求出a的值；
（2）归纳出一般的结论并证明．

Answer 1

分析 （1）观察所给的等式，sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°计算可得$\frac{3}{4}$；
（2）一般结论应该是sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$，运用二倍角公式和两角和差的正弦和余弦公式，化简整理即可得到．

解答 解：（1）由已知中的等式：
sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$．
则a=$\frac{3}{4}$；
（2）归纳可得：sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$，
理由如下：
左边=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos（60°+2α）}{2}$+sinα（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{1}{2}$sinα）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+\frac{1}{2}cos2α-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2α}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2α}{2}$=$\frac{3}{4}$=右边．
则sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，再证明结论，该题着重考查了类比的能力．