Question

9．一双曲线以椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的长轴顶点为焦点，渐近线与椭圆焦点与短轴顶点的连线平行．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）P点在双曲线上，且PF₁⊥PF₂，求点P到x轴的距离．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的长轴顶点和短轴顶点、焦点坐标，可得双曲线的c=5，设出双曲线方程，求得渐近线方程，由条件可得$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，结合双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的值，进而得到双曲线方程；
（2）设出P的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及点P满足双曲线方程，解方程，即可求得P到x轴的距离．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的长轴顶点为（±5，0），
焦点为（±3，0），短轴顶点为（0，±4），
可设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即有c=5，
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，
又a²+b²=25，
解得a=3，b=4，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）设P（m，n），由PF₁⊥PF₂，
可得$\frac{n}{m+5}$•$\frac{n}{m-5}$=-1，
即有m²+n²=25，
又$\frac{{m}^{2}}{9}$-$\frac{{n}^{2}}{16}$=1，
解得n=±$\frac{16}{5}$．
则点P到x轴的距离为$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查焦点和顶点、渐近线方程，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于基础题和易错题．