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现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②已知的最小值为16;
③数列
④设函数,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
⑤若,则siny-cos2x的最大值是
其中的真命题有    .(写出所有真命题的编号)
【答案】分析:①将a2-b2=1,分解变形为(a+1)(a-1)=b2,即可证明a-1<b,即a-b<1;
②先利用基本不等式求得2b(a-b)范围,进而代入原式,进一步利用基本不等式求得问题答案.
③求数列的最大值,可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理.
④题中原方程f2(x)+2f(x)=0有多少个不同实数解,即要求对应于f(x)=0和f(x)=-2有几个不同实数解,故先根据题意作出f(x)的简图:由图可知,当f(x)=0时,它有三个根,当f(x)=-2时,它有二个根.故关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有且只有5个不同实数解.
⑤由题意得siny=-sinx,且-1≤-sinx≤1,得到sinx的取值范围,把所求的式子配方利用二次函数的性质求出其最大值.
解答:解:①若a2-b2=1,则a2-1=b2,即(a+1)(a-1)=b2
∵a+1>a-1,∴a-1<b,即a-b<1,①正确;
②:∵2b(a-2b)≤(2=
∴a2+≥a2+≥16.
当且仅当2b=a-2b时取等号.②正确;
③:an=n(n+4)( n
==×≥1
则2(n+1)(n+5)≥3n(n+4),即n2≤10,所以n<4,
即n<4时,an+1>an
当n≥4时,an+1<an
所以a4最大.③正确;
④:∵题中原方程f2(x)+2f(x)=0有几个不同实数解,
∴即要求对应于f(x)=0和f(x)=-2有几个不同实数解,
故先根据题意作出f(x)的简图,如图,
由图可知,当f(x)=0时,它有三个根,当f(x)=-2时,它有二个根.关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有5个解.④不正确;
⑤:∵sinx+siny=,∴siny=-sinx,
∵-1≤-sinx≤1,∴-≤sinx≤1,
∴siny-cos2x=-sinx-(1-sin2x) 
=(sinx-)2-,∴sinx=- 时,siny-cos2x的最大值为(--)2-=,⑤不正确.
故答案为:①②③.
点评:本题主要考查了命题的真假判断与应用,考查了基本不等式在最值问题中的应用、同角三角函数的基本关系,正弦函数的有界性,二次函数的性质等等.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设V是已知平面M上所有向量的集合,对于映射f:V→V,a∈V,记a的象为f(a).若映射f:V→V满足:对所有a、b∈V及任意实数λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题:
①设f是平面M上的线性变换,a、b∈V,则f(a+b)=f(a)+f(b);
②若e是平面M上的单位向量,对a∈V,设f(a)=a+e,则f是平面M上的线性变换;
③对a∈V,设f(a)=-a,则f是平面M上的线性变换;
④设f是平面M上的线性变换,a∈V,则对任意实数k均有f(ka)=kf(a).
其中的真命题是
 
(写出所有真命题的编号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②已知a>2b>0,则a2+
8
b(a-2b)
的最小值为16;
③数列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大项是第4项

④设函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
⑤若sinx+siny=
1
3
,则siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命题有
①②③
①②③
.(写出所有真命题的编号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②△ABC若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形;
③数列{n(n+4)(
2
3
n中的最大项是第4项;
④设函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解;
⑤若sinx+siny=
1
3
,则siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命题有
①③
①③
.(写出所有真命题的编号).

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•眉山一模)设函数f(x)对其定义域内的任意实数x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,则称函数f(x)为上凸函数. 若函数f(x)为上凸函数,则对定义域内任意x1、x2、x3,…,xn都有f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
(当x1=x2=x3=…=xn时等号成立),称此不等式为琴生不等式,现有下列命题:
①f(x)=lnx(x>0)是上凸函数;
②二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函数的充要条件是a>0;
③f(x)是上凸函数,若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)图象上任意两点,点C在线段AB上,且
AC
CB
,则f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ

④设A,B,C是一个三角形的三个内角,则sinA+sinB+sinC的最大值是
3
3
2

其中,正确命题的序号是
①③④
①③④
(写出所有你认为正确命题的序号).

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•眉山一模)设函数f(x)对其定义域内的任意实数x1x2都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
,则称函数f(x)为上凸函数.现有下列命题:
①f(x)=sinx,x∈[0,π]是上凸函数;
②f(x)=lnx(x>0)是上凸函数;
③二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函数的充要条件是a>0;
④f(x)是上凸函数,若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)图象上任意两点,点C在线段AB上,且
AC
CB
,则f(
x1x2
1+λ
)≥
f(x1)+λf(x2)
1+λ

其中,正确命题的序号是
①②④
①②④
(写出所有你认为正确命题的序号).

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