Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．数列{b_n}中，b₁=1，它的第n项b_n是数列{a_n}的第b_n-1项（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）若对任意的n∈N^*，不等式

1

b1+1

+

1

b2+1

+

1

b3+1

+…+

1

bn+1

＜m²-m+1恒成立，试求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出a_n=2n+1．n∈N^*．
（2）依题意n≥2时，b_n=a bn-1=2b_n-1+1，从而{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此能求出b_n．
（3）由

1

b1+1

+

1

b2+1

+

1

b3+1

+…+

1

bn+1

=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1，结合已知条件得m²-m+1≥1，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，
∴a₁=S₁=1+2=3，
a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，n≥2，
n=1时，上式成立，
∴a_n=2n+1．n∈N^*．
（2）依题意，n≥2时，b_n=a bn-1=2b_n-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴b_n=2ⁿ-1．
（3）∵b_n=2ⁿ-1，
∴

1

b1+1

+

1

b2+1

+

1

b3+1

+…+

1

bn+1

=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，
∵不等式

1

b1+1

+

1

b2+1

+

1

b3+1

+…+

1

bn+1

＜m²-m+1恒成立，
∴m²-m+1≥1，解得0≤m≤1．
∴m的取值范围是[0，1]．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，