Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且an=4+(-

1

2

)n-1，若对任意n∈N^*，都有1≤p（S_n-4n）≤3，则实数p的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得S_n=4n+

2

3

[1-(-

1

2

)n]，从而p（S_n-4n）=

2p

3

[1-(-

1

2

)n]，进而

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，由此根据n为奇数和n为偶数两种情况进行分类讨论，能求出实p的取值范围．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且an=4+(-

1

2

)n-1，
∴Sn=4n+

1-(- 1 2 )n

1-(- 1 2 )

=4n+

2

3

[1-(-

1

2

)n]，
∴p（S_n-4n）=

2p

3

[1-(-

1

2

)n]，
由p（S_n-4n）∈[1，3]得1≤

2p

3

[1-(-

1

2

)n]≤3，
∵1-（-

1

2

）ⁿ＞0，
∴

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
当n为奇数时，

1

1-(- 1 2 )n

=

1

1+( 1 2 )n

随n的增大而递增，且0＜

1

1-(- 1 2 )n

＜1，
当n为偶数时，

1

1-(- 1 2 )n

=

1

1-( 1 2 )n

随n的增大而递减，且

1

1-(- 1 2 )n

＞1，
∴

1

1-(- 1 2 )n

的最大值为

4

3

，

3

1-(- 1 2 )n

的最小值为2．  
由

1

1-(- 1 2 )n

≤

2p

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，得

4

3

≤

2p

3

≤2，
解得2≤p≤3，
∴所求实p的取值范围是[2，3]．
故答案为：[2，3]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意等比数列性质、分类讨论思想、不等式性质的合理运用．