Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）在函数f（x）=x²的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（ I）由点（n，S_n）在函数f（x）=x²的图象上，可得Sn=n2．利用递推式即可得出a_n；
（ II）由bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（ I）∵点（n，S_n）在函数f（x）=x²的图象上，
∴Sn=n2．
∴当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又a₁=1满足a_n=2n-1，
∴a_n=2n-1．
（ II）∵bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查了递推式的应用、点与函数图象的关系、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．