Question

已知正项等比数列{a_n}中，a₁+a₂=6，a₃+a₄=24．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n=log22n=n，得a_n+b_n=2ⁿ+n，由此利用分组求和法能求出数列{a_n+b_n}的前n项和．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵正项等比数列{a_n}中，a₁+a₂=6，a₃+a₄=24，
∴

a1+a1q=6 a1q2+a1q3=24

，且q＞0，
解得a₁=2，q=2，
∴an=a1•qn-1=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）∵b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴a_n+b_n=2ⁿ+n
∴数列{a_n+b_n}的前n项和：
T_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=

2(2n-1)

2-1

+

n(n+1)

2

=2n+1-2+

n2

2

+

n

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．