Question

【题目】已知过原点的动直线与圆： 交于两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）轴上是否存在定点，使得当变动时，总有直线的斜率之和为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）先求出圆心C（-1，0）到直线l的距离为，利用点到直线距离公式能求出直线l的方程．

（2）设，直线MA、MB的斜率分别为k1，k2．设l的方程为y=kx，代入圆C的方程得（k2+1）x2+2x-3=0，由此利用韦达定理，结果已知条件能求出存在定点M（3，0），使得当l变动时，总有直线MA、MB的斜率之和为0.

试题解析：

（Ⅰ）设圆心到直线的距离为，则

当的斜率不存在时， ，不合题意

当的斜率存在时，设的方程为，由点到直线距离公式得

解得，故直线的方程为

（Ⅱ）存在定点，且，证明如下：

设，直线、的斜率分别为.

当的斜率不存在时，由对称性可得， ，符合题意

当的斜率存在时，设的方程为，代入圆的方程

整理得

∴， ，

∴

当，即时，有，

所以存在定点符合题意， .