Question

【题目】已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）已知不等式在上恒成立，求实数的最大值；

（3）当时，求函数的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）9个

【解析】

(1) 当时，可得是偶函数，当时，可得是非奇非偶函数.
(2) 当时, ,即将问题转化为在上恒成立，设，只要使．然后求出的导数，求出函数的最小值.
（3）当时，，得到得或，问题即求和和三个方程总的解的个数．

解：（1）函数定义域为，关于原点对称．

当时，，，

，

则是定义在上的偶函数；

当时，，，

且，

所以是非奇非偶函数．

（2）当时，，即已知在上恒成立，

即在上恒成立，

令，只要使．

，因为，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

即的最小值是，

解不等式，得．所以实数的最大值是．

（3）当时，，解得或，

问题即求和和三个方程总的解的个数．

由（1）得函数是偶函数，

当时，，，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以，且

由偶函数的性质，在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递减，在上单调递增

方程有3个解；方程有2个解；

方程有4个解；所以函数的零点个数是9个．