Question

【题目】已知函数，其导函数为．

（1）当时，若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）采用分离参数法得到，分析函数的单调性以及取值情况，即可计算出有且仅有一个零点时的取值范围；

（2）化简不等式得到，对其中的与的关系作分类讨论，得到满足的不等关系，从而确定出满足的关于的不等关系，构造新函数利用导数分析并求解出最大值.

解：（1）当时，，

由题意得，即，

令，则，解得，

当时，单调递减；当时，单调递增，

，

当时，，当时，，

则或时，在上有且只有一个零点．

（2）由已知条件得．①

(i)若，则对任意常数，当，且时，可得，因此①式不成立．

(ii)若，则．

(iii)若，设，则．

当时，;当时，．

从而在上单调递减，在上单调递增．

故有最小值．

所以原不等式等价于．②

因此．

设，则．

所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得最大值．

从而，即，

当时，②式成立，故当时，．

综上可知，的最大值为．