Question

3．已知函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值0．
（1）求a，b的值；                       
（2）求f（x）在[-4，0]上最值．

Answer 1

分析 （1）已知函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=1处有极值0，即f（-1）=0，f′（-1）=0，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+6ax+b，
函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1处有极值0，
∴f（-1）=0，f′（-1）=0
∴-1+3a-b+a²=0，3-6a+b=0．
解得a=2，b=9；
（2）由（1）得：
f（x）=x³+6x²+9x+4，
∴f′（x）=3x²+12x+9
∴由f′（x）=3x²+12x+9＞0，
得x∈（-∞，-3）或（-1，+∞）
由f′（x）=3x²+12x+9＜0得x∈（-3，-1），
∴函数f（x）的单调增区间为：[-4，-3），（-1，0]，减区间为：（-3，-1）．
∴f（x）的极小值：f（-1）=0，
极大值为：f（-3）=-27+54-27+4=4．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．