Question

2．已知函数f（x）=2^x-2^-x，若不等式f（x²-ax+a）+f（3）＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（-2，6）．

Answer 1

分析 由函数解析式可得函数f（x）为定义域上的增函数且为奇函数，把不等式f（x²-ax+a）+f（3）＞0对任意实数x恒成立转化为x²-ax+a+3＞0恒成立，由判别式小于0求得实数a的取值范围．

解答 解：f（x）=2^x-2^-x=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵y=2^x与y=$-\frac{1}{{2}^{x}}$均为实数集上的增函数，
∴函数f（x）为实数集上的增函数，
又f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），∴f（x）为实数集上的奇函数，
由不等式f（x²-ax+a）+f（3）＞0对任意实数x恒成立，
得f（x²-ax+a）＞-f（3）=f（-3）对任意实数x恒成立，
则x²-ax+a＞-3恒成立，即x²-ax+a+3＞0恒成立，
则△=（-a）²-4（a+3）=a²-4a-12＜0，解得-2＜a＜6．
故答案为：（-2，6）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，是中档题．