Question

17．已知等轴双曲线一条准线的方程为y=$\sqrt{2}$，则该双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 设等轴双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞0），由双曲线的准线方程y=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，可得$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$，解得a的值，进而得到双曲线的方程．

解答 解：设等轴双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞0），c=$\sqrt{2}$a，
由一条准线的方程为y=$\sqrt{2}$，
可得$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{2}a}$=$\sqrt{2}$，
解得a=2，
则双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的准线方程，考查运算能力，属于基础题．