Question

5．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点（A在x轴上方），且$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，则|$\overrightarrow{AF}$|=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=$\frac{1}{2}$，得∠BAE=60°，即直线AB的倾斜角为60°，从而得到直线AB的斜率k值、直线的方程，再与抛物线联立，即可得出结论．

解答 解：作出抛物线的准线l：x=-1，设A、B在l上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，∴设|$\overrightarrow{FB}$|=m，则|$\overrightarrow{AF}$|=3m，
由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得
|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{FB}$|=m，|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AF}$|=3m，
∴|$\overline{AE}$|=2m
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=$\frac{1}{2}$，得∠BAE=60°
所以，直线AB的倾斜角∠AFx=60°，
得直线AB的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$．
直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），代入y²=4x，可得3x²-10x+3=0，
∴x=3或x=$\frac{1}{3}$，
∵A在x轴上方，
∴|$\overrightarrow{AF}$|=4，
故选：A．

点评 本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求|$\overrightarrow{AF}$|，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．