Question

15．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R）
（1）判断“f（x）为偶函数”是“φ=π”的什么条件；
（2）证明：f（x）为奇函数的充要条件是φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是偶函数时φ=kπ，k∈Z判断充分性不成立；φ=π时，f（x）是偶函数，判断必要性成立；即可得出结论；
（2）由φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）判断f（x）为奇函数，充分性成立；由f（x）为奇函数时，φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），必要性成立；即证结论成立．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Acos（ωx+φ）是偶函数，
∴φ=kπ，k∈Z，充分性不成立；
当φ=π时，f（x）=Acos（ωx+φ）=-Acosωx是偶函数，必要性成立；
所以“f（x）为偶函数”是“φ=π”的必要不充分条件；
（2）证明：当φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，f（x）=Acos（ωx+$\frac{π}{2}$+kπ）=-Asin（ωx+kπ）为奇函数，充分性成立；
当f（x）=Acos（ωx+φ）为奇函数时，φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），必要性成立；
所以f（x）为奇函数的充要条件是φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）．

点评 本题考查了正弦、余弦函数的应用问题，也考查了充分、必要条件的判断问题，是基础题目．