Question

3．下列命题中正确的是（　　）

• A． 函数y=x+$\frac{1}{x}$的最小值为2
• B． 函数y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值为2
• C． 函数y=3^x+3^-x的最小值为2
• D． 函数y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值为2

Answer 1

分析 利用x的范围判断A的正误；基本不等式判断B、C的正误，三角函数的符号判断D的正误；

解答 解：函数y=x+$\frac{1}{x}$的最小值为2，显然x＜0，y＜0，所以A不正确；
函数y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$-$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2．判断函数y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值为2，不正确；
函数y=3^x+3^-x≥2$\sqrt{{3}^{x}•{3}^{-x}}$=2，当且仅当x=0时成立，所以函数的最小值为2正确．
函数y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值为2，显然当sinx＜0时不成立．
故选：C．

点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，是基础题．