Question

6．在△ABC中，已知下列条件，解三角形（边长精确到0.1，角度精确到1°）：
（1）a=9，c=7，∠A=30°；
（2）b=$\sqrt{5}$，∠A=45°，∠B=105°；
（3）a=5$\sqrt{2}$，b=4$\sqrt{3}$，∠C=105°；
（4）a=8，b=13，c=17．

Answer 1

分析 使用正弦定理解（1），（2），使用余弦定理解（3），（4）．

解答 解：（1）由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴sinC=$\frac{csinA}{a}$≈0.3889，
∵a＞c，∴C＜30°，∴C≈22.9°，∴B=180°-A-C≈127.1°，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴b=$\frac{asinB}{sinA}$≈14.7．
（2）C=180°-A-B=30°，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$≈1.6，c=$\frac{bsinC}{sinB}$≈1.1．
（3）由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=50+48-40$\sqrt{6}$cos105°≈123.36，
∴c≈$\sqrt{123.36}$≈11.1，
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≈0.789，∴A≈37.9°，
∴B=180°-A-C≈37.1°．
（4）由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≈0.891，∴A≈27.0°
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≈0.676，∴B≈47.5°，
∴C=180°-A-B≈105.5°．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．