Question

7．已知函数f（x）=x²-2x+a（e^x-1+e^-x+1）有唯一零点，则a=（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 通过转化可知问题等价于函数y=1-（x-1）²的图象与y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．

解答 解：因为f（x）=x²-2x+a（e^x-1+e^-x+1）=-1+（x-1）²+a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1-（x-1）²=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）有唯一解，
等价于函数y=1-（x-1）²的图象与y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x²-2x≥-1，此时有两个零点，矛盾；
②当a＜0时，由于y=1-（x-1）²在（-∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）在（-∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1-（x-1）²的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a＜0＜1，此时函数y=1-（x-1）²的图象与y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的图象有两个交点，矛盾；
③当a＞0时，由于y=1-（x-1）²在（-∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）在（-∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1-（x-1）²的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x-1+$\frac{1}{{e}^{x-1}}$）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=$\frac{1}{2}$，符合条件；
综上所述，a=$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．