Question

19．已知抛物线C：y²=2px过点P（1，1）．过点（0，$\frac{1}{2}$）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；
（2）设过点（0，$\frac{1}{2}$）的直线方程为y=kx+$\frac{1}{2}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据韦达定理得到x₁+x₂=$\frac{1-k}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{4{k}^{2}}$，根据中点的定义即可证明．

解答 解：（1）∵y²=2px过点P（1，1），
∴1=2p，
解得p=$\frac{1}{2}$，
∴y²=x，
∴焦点坐标为（$\frac{1}{4}$，0），准线为x=-$\frac{1}{4}$，
（2）证明：设过点（0，$\frac{1}{2}$）的直线方程为
y=kx+$\frac{1}{2}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴直线OP为y=x，直线ON为：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$x，
由题意知A（x₁，x₁），B（x₁，$\frac{{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，可得k²x²+（k-1）x+$\frac{1}{4}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{1-k}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{4{k}^{2}}$
∴y₁+$\frac{{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}}$=kx₁+$\frac{1}{2}$+$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}+\frac{1}{2}）}{{x}_{2}}$=2kx₁+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$=2kx₁+$\frac{\frac{1-k}{{k}^{2}}}{2×\frac{1}{4{k}^{2}{x}_{1}}}$=2kx₁+（1-k）•2x₁=2x₁，
∴A为线段BM的中点．

点评 本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．