Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=$2\sqrt{2}a$．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得$\overrightarrow{PD}$为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB-C的余弦值．

解答 （1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD=$2\sqrt{2}a$．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则：D（$-\sqrt{2}a，0，0$），B（$\sqrt{2}a，2a，0$），P（0，0，$\sqrt{2}a$），C（$-\sqrt{2}a，2a，0$）．
$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}a，0，-\sqrt{2}a）$，$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{2}a，2a，-\sqrt{2}a）$，$\overrightarrow{BC}=（-2\sqrt{2}a，0，0）$．
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}ax+2ay-\sqrt{2}az=0}\\{-2\sqrt{2}ax=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}=（0，1，\sqrt{2}）$．
∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，则$\overrightarrow{PD}$为平面PAB的一个法向量，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{2}a，0，-\sqrt{2}a）$．
∴cos＜$\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2a}{2a×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由图可知，二面角A-PB-C为钝角，
∴二面角A-PB-C的余弦值为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．