Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（$\sqrt{2}$，1），然后结合离心率可得椭圆方程；
（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，a²=2b²，
∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2$\sqrt{2}$，
∴椭圆C过点（$\sqrt{2}$，1），
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
∴b²=2，a²=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）设A，B的横坐标为x₁，x₂，
则A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），D（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{k}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+m），
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，
∴D（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
∵M（0，m），则N（0，-m），
∴⊙N的半径为|m|，
|DN|=$\sqrt{（\frac{m}{1+2{k}^{2}}+m）^{2}+（\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{|2m|}{1+2{k}^{2}}$$\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}$，
设∠EDF=α，
∴sin$\frac{α}{2}$=$\frac{EN}{DN}$=$\frac{ON}{DN}$=$\frac{m}{\frac{2m}{1+2{k}^{2}}\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$=$\frac{1+2{k}^{2}}{2\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$，
令y=$\frac{1+2{k}^{2}}{2\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$，则y′=$\frac{1}{2}$$\frac{k（4{k}^{2}+1）}{\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}（{k}^{4}+3{k}^{2}+1）}$，
当k=0时，sin$\frac{α}{2}$取得最小值，最小值为$\frac{1}{2}$．
∴∠EDF的最小值是60°．

点评 本题考查圆锥曲线的最值问题，重要的是能将角度的最小值进行转化求解．