Question

4．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期是π，将f（x）图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度后，所得的函数图象过点P（0，1），则函数f（x）（　　）

• A． 在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单调递减
• B． 在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单调递增
• C． 在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上单调递减
• D． 在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上单调递增

Answer 1

分析 根据正弦函数的周期性求得ω，根据函数的图象经过定点求得φ，可得函数f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，-π＜φ＜0）的最小正周期是$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
将f（x）=sin（2x+φ）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度后，可得y=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）的图象，
再根据所的图象过点P（ 0，1），∴sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=1，∴φ=-$\frac{π}{6}$，故f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上单单调递增，
故A错误，且B正确．
在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，故函数f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上没有单调性，故排除C、D，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．